Quando Um Numero Natural É Par

O critério de paridade em numeros naturais

A pergunta aparece todo ano nas listas de exercícios de introdução à teoria dos numeros. A resposta curta é que um numero natural é par quando ele é divisivel por dois sem resto. Mas na prática, saber quando isso acontece e, mais importante, usar essa informação corretamente em demonstrações envolve alguns detalhes que os livros costumam passar por alto.

quando um numero natural é par: definicao e metodo

A definicao formal diz que um inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n = 2k. O conjunto dos numerosnaturais, conforme a convencao mais usada em curso de graduacao em matematica no Brasil, é {0, 1, 2, 3, ...}. Zero é par, porque 0 = 2·0. Alguns autores usam N = {1, 2, 3, ...}, o que nao muda o criterio, mas gera confusao em enunciados que nao especificam a convencao. Se o exercicio pede para provar algo para todo n par em N e voce usa a convencao que inclui zero, a demostracao ainda vale; só preciso ter cuidado para nao afirmar que 0 esta fora do dominio quando o problema fala de numerosnaturais positivos. O metodo pratico de verifique se um numeroé par é olhar o algarismo das unidades. Se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, o numeroé par. Isso funciona porque a base dez é multiplo de dois, entao so a ultima cifra importa. Eu já perdi tempo em aula explicando para aluno que insistia em dividir o numerotodo por dois em vez de simplesmente olhar a ultima casa. O algoritmo esta la; o problema era entender que a regra de verificação nao exige o quociente.

Ha uma armadilha comum em problemas que misturam paridade com divisibilidade por outros numeros. Por exemplo, todo numero divisivel por quatro é par, mas o reverso nao vale. Um professor pode colocar um exercicio do tipo "se n é par, entao n + 2 é divisivel por quatro" e o aluno responde sim sem testar n = 2. Quando n = 2, n + 2 = 4, que é divisivel por quatro, mas quando n = 6, n + 2 = 8, tambem divisivel por quatro... espera, nesse caso funciona. Melhor usar n = 10: 10 + 2 = 12, que nao é divisivel por quatro. Contraexemplo encontrado em 30 segundos. O ponto é que paridade so garante o fator dois, nao fatores adicionais. Outro problema que eu encontro com frequencia é quando o enunciado pede para caracterizar os numeros da forma 3k + 1 ou 3k + 2 e o aluno responde que "par" se aplica a todos eles. A paridade é uma propriedade modulo 2, enquanto 3k + 1 e 3k + 2 sao classes modulo 3. As duas coisas sao independentes. Um numero pode ser par e da classe 3k + 1, como 4 = 3·1 + 1. Ou pode ser impar e da classe 3k + 2, como 5 = 3·1 + 2. Confundir modulo 2 com modulo 3 é um erro que eu vejo em quase todas as turmas de calculo discreto no primeiro semestre.

O criterio de paridade tambem aparece em problemas de contencao. Se voce tem um conjunto de numerosnaturais e quer saber quantos sao pares entre 1 e N, a resposta é ceil(N/2) ou floor(N/2) + 1, dependendo se N é par ou impar. Quando N = 100, ha 50 numerospares. Quando N = 101, ha 50 numerospares tambem, porque o 101 é impar. Esse tipo de contagem é usado em provas de Pigeonhole com frequencia, e o erro mais comum é esquecere de separar os casos par e impar de N. Existe uma aplicacao pratica interessante em criptografia que usa paridade de forma nao trivial. O esquema de cifragem de XOR com chave unica, conhecido como one-time pad, exige que a chave tenha a mesma quantidade de bits da mensagem. Se voce tentar usar uma chave mais curta, precisa repetir o padrao, e isso quebra a seguranca. A paridade dos bits da chave nao é o que importa; o que importa é a aleatoriedade e o comprimento. Já vi aluno tentar provar seguranca olhando se a chave tinha numero par ou impar de uns, o que é irrelevante para a prova de segurança do one-time pad.

O lado ruim é que o criterio de paridade so funciona bem para numerosinteiros. Para numerosracionais, a noção de "par" nao se aplica diretamente. Um numero como 3/2 nao é par nem impar; é um racional. Se o problema fala de Z[1/2], o anel dos dyadics, a situacao fica mais complicada e precisei consultar uma fonte especializada para nao cometer erro em aula. Recomendo usar o criterio de paridade apenas em Z ou N, e nao estender para Q sem definir uma generalizacao adequada. Em resumo, um numero natural é par quando é divisivel por dois. O resto é historia de aula, exercicio e prova.