Como determinar a posição relativa entre duas retas na prática
Todo mundo começa achando que é só comparar os coeficientes angulares e pronto. Funciona, mas você vai travar em qualquer questão que não use formas já simplificadas. O que funciona de verdade é olhar para os coeficientes da forma geral mesmo. Vou explicar do jeito que eu uso agora, depois volto no conceito quando fizer sentido.
Posição relativa entre duas retas: o método que eu recomendo
Se você tem duas retas na forma geral: r: ax + by + c = 0
s: ax + by + c = 0
Você calcula as razões entre os coeficientes correspondentes. É isso. Não precisa converter para y = mx + n em nada. Basta ver como a/a, b/b e c/c se comportam. Se a/a b/b, as retas são concorrentes. Elas se cruzam em exatamente um ponto. O fato de as razões dos coeficientes x e y serem diferentes já garante isso, não tem exceção.
Se a/a = b/b c/c, as retas são paralelas distintas. Elas nunca se encontram. O coeficiente angular é o mesmo, mas os coeficientes lineares são diferentes, então uma está "deslocada" em relação à outra. Se a/a = b/b = c/c, as retas são coincidentes. Na prática, são a mesma reta escrita de formas ligeiramente diferentes. Tudo o que satisfaz uma satisfaz a outra.
Quando preciso encontrar o ponto de interseção de concorrentes, resolvo o sistema formado pelas duas equações. Substituição ou adição, tanto faz. Em problemas de prova, geralmente os números são bonitos porque quem elaborou pensou nisso.
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Um caso que dava errado na hora H
Tinha uma questão onde uma reta vinha na forma paramétrica e a outra na forma geral. O candidato médio igualava os coeficientes angulares das duas e conclua que eram paralelas. Errado. A reta paramétrica tinha direção (3, 6), o que dá coeficiente angular 2, mas o ponto por onde ela passava era diferente do ponto da outra reta com m = 2. Elas eram paralelas distintas, sim, mas a lógica do candidato foi sortuda porque chegou ao resultado certo pelo caminho errado. Na semana seguinte, veio outra questão em que uma reta estava como x = 5 e a outra como 2x + 3y = 12. A primeira é vertical. Meu conselho desde então: se um dos coeficientes b for zero, você não pode usar a razão b/b normalmente. Trabalhe diretamente com os coeficientes a e b da forma geral, ou trate a reta vertical separadamente. Eu costumava anotar "b = 0 significa reta vertical ou horizontal, cuidado" num caderno que hoje nem sei onde está.
O que os livros não costumam destacar
A primeira coisa que as pessoas esquecem é que a comparação de razões só funciona quando os coeficientes estão na mesma forma. Se uma equação está como x + 2y = 4 e a outra como 2x + 4y = 10, você pode achar que são concorrentes porque 1/2 2/4, mas na verdade 1/2 = 2/4 e só c/c = 4/10 que é diferente. São paralelas distintas. A armadilha clássica é não verificar todas as três razões. Outra coisa: quando os coeficientes são irracionais ou dadas por aproximação decimal, a comparação exata de razões não é viável. Aí o melhor caminho é calcular o determinante do sistema. Se det 0, concorrentes. Se det = 0, ou coincidentes, e aí você testa se uma equação é múltipla da outra.
Limitações desse método
O método das razões funciona bem em provas do ensino médio e em exercícios didáticos. Mas ele tem dois problemas reais. O primeiro é que, em situações computacionais com floating point, você nunca deve testar igualdade exata. Use uma tolerância, algo como 10. O segundo é que ele não te diz o ponto de interseção. Se você precisa das coordenadas, tem que resolver o sistema de qualquer jeito depois de saber que as retas são concorrentes. Se o trabalho envolve muitas retas, como em um software de CAD ou em processamento geométrico, o método das razões ainda é rápido, mas a solução numérica do sistema linear com Gausson-Jordan ou decomposição LU escala melhor. Para duas retas, isso é overkill, mas faz diferença quando você está comparando dezenas de retas contra uma terceira.
Um exemplo rápido
Dadas r: 3x + 4y - 7 = 0 e s: 6x + 8y + 5 = 0, temos a/a = 3/6 = 1/2, b/b = 4/8 = 1/2, e c/c = -7/5. Como 1/2 = 1/2 -7/5, as retas são paralelas distintas. Nunca se encontram. Se a segunda reta fosse s': 6x + 8y - 14 = 0, então c/c = -7/-14 = 1/2 também, e as retas seriam coincidentes. Note que s' é exatamente 2 vezes r. Isso é o que acontece quando todos os três quocientes batem.
Se mudarmos para s'': 6x + 9y - 2 = 0, aí a/a = 1/2 e b/b = 4/9, que são diferentes. Concorrentes. O ponto de interseção se acha resolvendo o sistema, sem frescura. O importante é não decorar o fluxo em silabação. Entenda por que as razões funcionam: elas capturam a proporcionalidade entre os vetores normais das retas. Se os normais são proporcionais, as retas têm a mesma inclinação. Se os termos independentes também são proporcionais na mesma razão, as retas ocupam o mesmo lugar no plano. Se não forem, estão lado a lado sem se tocar.
Isso vale pra qualquer nível de geometria analítica que você for enfrentar depois. A base é essa, e o resto é aplicação.
