MMC e MDC na prática
Muita gente aprende MMC e MDC decoreba e vira a página quando cai um exercício um pouco mais complicado. A real é que o processo é sempre o mesmo, mas o jeito que você organiza o caminho faz toda a diferença no tempo que gasta. Eu sempre peço para os alunos começarem pela fatoração em primos antes de qualquer coisa. Já vi gente tentar calcular o mínimo múltiplo comum olhando os múltiplos um por um até encontrar uma interseção, e isso quando os números passam de 100 é pura perda de tempo. O máximo divisor comum funciona de forma espelhada, mas com uma lógica própria. Você divide os dois números simultaneamente pelos primos enquanto houver divisor comum entre eles. Quando não sobrar mais nenhum divisor comum além do 1, o MDC está feito. O MMC pede o mesmo processo, mas aí você pega todos os fatores, comuns e não comuns, com seus maiores expoentes.
mmc e mdc - exercícios resolvidos 7 ano
Vou resolver três problemas que aparecem com frequência e que cobram exatamente o que cai em prova. O primeiro pede o MMC e o MDC de 24 e 60. Fatoração de 24: 24 / 2 = 12 / 2 = 6 / 2 = 3 / 3 = 1. Isso dá 2³ × 3¹.
Fatoração de 60: 60 / 2 = 30 / 2 = 15 / 3 = 5 / 5 = 1. Isso dá 2² × 3¹ × 5¹. O MDC pega os fatores comuns com menor expoente. Temos 2 e 3 como fatores comuns. O menor expoente do 2 é 2, do 3 é 1. MDC = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
O MMC pega todos os fatores com maior expoente. 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120. Verificação rápida: 12 divide 24 e 60? Sim. 120 é divisível por 24 e 60? Sim, 120 / 24 = 5 e 120 / 60 = 2. Feito.
Segundo exercício. MMC e MDC de 18, 30 e 45. Aqui já entram três números, e é exatamente onde os alunos costumam errar. A fatoração é a mesma base, só que com mais termos. 18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5 45 = 3² × 5
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Para o MDC, só entram os fatores presentes em TODOS os números. O fator 2 está em 18 e 30, mas não em 45. Então 2 não entra. O fator 5 está em 30 e 45, mas não em 18. Então 5 não entra. Só o 3 está em todos, com menor expoente igual a 1. MDC = 3. Para o MMC, entram todos os fatores com maior expoente. 2¹ × 3² × 5¹ = 2 × 9 × 5 = 90.
Verificação: 90 / 18 = 5, 90 / 30 = 3, 90 / 45 = 2. Tudo dá exato. E o MDC 3 divide 18, 30 e 45 também. Nada errado. Terceiro exercício, um pouco mais pesado. MMC e MDC de 72 e 108.
72 = 2³ × 3² 108 = 2² × 3³
MDC: fatores comuns 2 e 3, menores expoentes 2 e 2. MDC = 2² × 3² = 4 × 9 = 36. MMC: fatores 2 e 3, maiores expoentes 3 e 3. MMC = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216.
Tem uma relação que vale pra todo par de números e que serve de verificação: o produto dos dois números igualetodo o MMC multiplicado pelo MDC. No caso de 72 e 108: 72 × 108 = 7776. MMC × MDC = 216 × 36 = 7776. Batendo certo. Se numa prova rápida a conta não fechar, significa que errou em algum ponto e precisa refazer. O erro mais frequente que eu vejo não é na fatoração em si. É na hora de decidir quais fatores entram no MDC. A regra é simples e é fácil confundir na pressa: para o MDC, o fator precisa estar presente em todos os números da lista. Se faltar em um só, não entra. Já para o MMC, entra todo mundo, desde que cada fator use o maior expoente que aparecer em algum dos números.
Outro detalhe que as vezes passa despercebido. Quando os números são coprimos, ou seja, não compartilham nenhum fator primo além do 1, o MDC é 1 e o MMC é simplesmente o produto dos dois. Exemplo rápido: 8 e 9. 8 = 2³, 9 = 3². Nenhum fator em comum. MDC = 1, MMC = 72. Isso aparece com frequência em questões que tentam confundir o aluno achando que tem que fazer divisão por etapas longa, quando na real o cálculo é direto. Há uma situação limite que eu gosto de dar como teste. Números como 12 e 18 têm MDC maior que 1, então dá pra simplificar a fração 12/18 para 2/3 usando esse valor. Em problemas de cronograma, tipo duas engrenagens que completam ciclos diferentes, o MMC é que responde quando elas se alinham de novo. O MDC responde quando você precisa dividir algo em grupos iguais sem sobrar nada. Confundir qual usar é o erro que mais aparece em prova, mais que errar a fatoração.
Se quiser praticar sozinho, uma boa trilha é pegar números entre 20 e 200, fatorar tudo, aplicar as regras e conferir com a relação MMC × MDC = produto dos números. Quanto mais fizer, mais rápido o processo vira automático. Eu costumo sugerir que o aluno leve uma folha de fatoração própria, porque depender só da memória dos primos pequenos já é suficiente, mas anotar evita confusão na hora de ler o resultado final. O material didático padrão do 7º ano costuma ter bastante exercício em nível similar ao que mostrei aqui. Não precisa de nada muito além de papel, lápis e a regra de fatoração em números primos. O resto é repetição com conferência.
