Resolvendo MMC na prática
O mínimo múltiplo comum é a menor divisão positiva que dois ou mais números compartilham como múltiplo. A forma mais direta de encontrar esse valor é usando a fatoração prima. Você decompõe cada número em fatores primos, pega os fatores comuns e não comuns com seus maiores expoentes e multiplica tudo. Parece simples até você se deparar com números grandes como 360, 480 e 720 num exercício de frações e perceber que a fatoração manual está te tomando dez minutos quando poderia levar dois. Eu trabalho com isso há anos, e o erro mais frequente que vejo é o aluno esquecer de usar o maior expoente quando um número aparece repetido em mais de uma decomposição. Tipo colocar MMC(4, 8) = 8 em vez de 8. Isso errado, porque 8 já é múltiplo de 4, mas a confusão surge porque o cara acha que precisa "pegar os dois 8". O jeito certo é: fatora cada número separadamente, identifica todos os fatores primos envolvidos, e para cada fator primo toma o maior expoente que aparecer em qualquer uma das decomposições. Pronto.
minimo multiplo comum exercicios passo a passo
Vamos a um exemplo rápido. MMC de 12 e 18. Fatorando: 12 = 2² · 3¹ e 18 = 2¹ · 3². Os fatores primos envolvidos são 2 e 3. O maior expoente do 2 é 2. O maior expoente do 3 é 2. Multiplicando: 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Portanto MMC(12, 18) = 36. Agora um com três números, que é onde a maioria erra. MMC(24, 36, 60). Decomposição: 24 = 2³ · 3¹, 36 = 2² · 3², 60 = 2² · 3¹ · 5¹. Fatores presentes: 2, 3 e 5. Maiores expoentes: 2³, 3², 5¹. Resultado: 8 · 9 · 5 = 360.
Um problema real que eu enfrentei recentemente foi com uma lista de exercícios de frações onde os denominadores eram 84, 126 e 198. Fatorar isso na mão dá trabalho. O truque que eu uso é escrever os números lado a lado e dividir simultaneamente pelos primos até todos virarem 1. É o método do tetraminho ou tabela de divisões. Para 84, 126 e 198: 2 | 84 126 198
2 | 42 63 99 3 | 21 63 99
3 | 7 21 33 7 | 7 21 11
11| 1 3 11 3 | 1 3 1
1 | 1 1 1 MMC = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · 11 · 3 = 1386. Esse método é mais rápido porque você não precisa decompor cada número isoladamente e ainda evita erros de digitação ao lidar com fatores primos grandes.
Aqui vão alguns exercícios para treinar. Faça a fatoração completa antes de concluir, mesmo que ache que consegue fazer de cabeça. A pressa gera erro, e erro exige recomeçar. Exercício 1: MMC(10, 25)
Exercício 2: MMC(14, 21, 35) Exercício 3: MMC(16, 24, 36)
Exercício 4: MMC(45, 75) Exercício 5: MMC(30, 42, 70)
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Exercício 6: MMC(63, 84, 126) Exercício 7: MMC(48, 72)
Exercício 8: MMC(90, 120, 150) Exercício 9: MMC(18, 24, 30)
Exercício 10: MMC(56, 84, 140)
Gabarito comentado
Exercício 1: 10 = 2 · 5, 25 = 5². MMC = 2 · 5² = 50. Exercício 2: 14 = 2 · 7, 21 = 3 · 7, 35 = 5 · 7. MMC = 2 · 3 · 5 · 7 = 210.
Exercício 3: 16 = 2, 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². MMC = 2 · 3² = 16 · 9 = 144. Exercício 4: 45 = 3² · 5, 75 = 3 · 5². MMC = 3² · 5² = 9 · 25 = 225.
Exercício 5: 30 = 2 · 3 · 5, 42 = 2 · 3 · 7, 70 = 2 · 5 · 7. MMC = 2 · 3 · 5 · 7 = 210. Exercício 6: 63 = 3² · 7, 84 = 2² · 3 · 7, 126 = 2 · 3² · 7. MMC = 2² · 3² · 7 = 4 · 9 · 7 = 252.
Exercício 7: 48 = 2 · 3, 72 = 2³ · 3². MMC = 2 · 3² = 16 · 9 = 144. Exercício 8: 90 = 2 · 3² · 5, 120 = 2³ · 3 · 5, 150 = 2 · 3 · 5². MMC = 2³ · 3² · 5² = 8 · 9 · 25 = 1800.
Exercício 9: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3, 30 = 2 · 3 · 5. MMC = 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360. Exercício 10: 56 = 2³ · 7, 84 = 2² · 3 · 7, 140 = 2² · 5 · 7. MMC = 2³ · 3 · 5 · 7 = 8 · 3 · 5 · 7 = 840.
Uma coisa que poucos ensinam: o MMC também serve para somar e subtrair frações com denominadores diferentes. Em vez de encontrar o denominador comum qualquer, você busca o menor possível, que é o MMC dos denominadores. Isso simplifica o cálculo e reduz a chance de erro. Quando os denominadores são 12 e 18, por exemplo, o MMC é 36. Você converte ambas as frações para o denominador 36 e resolve. Se você usasse o produto direto 12 · 18 = 216, o número seria muito maior e a simplificação posterior consumiria tempo extra. O único ponto onde esse método tradicional falha é com números primos entre si. Se dois números não compartilham nenhum fator primo, o MMC deles é simplesmente o produto. Exemplo: MMC(8, 9) = 72 porque 8 = 2³ e 9 = 3², não há fator em comum. Isso também funciona para o MDC, onde nesse caso seria 1. Não é uma limitação grave, mas é bom saber antecipar para não gastar tempo fatorando à toa.
Se você quiser praticar mais, pode procurar listas de exercícios nos sites do Khan Academy Brasil ou do Matemática Rio. Eles têm exercícios graduados do básico ao avançado, com gabaritos. O ideal é fazer cinco exercícios bem feitos por dia em vez de trinta mal feitos. A consistência é o que realmente fixa o conteúdo.
