Como ler e construir gráficos de funções do 1º grau
A função do primeiro grau tem a forma f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. O gráfico é sempre uma reta no plano cartesiano. Para desenhar, você precisa de dois pontos. Ajeita o mais fácil possível: acha o valor de y quando x = 0 (esse é o ponto onde a reta corta o eixo vertical) e depois calcula outro ponto qualquer substituindo um x de sua escolha. Traça a reta pelos dois e pronto. Não adianta decorar fórmulas sem saber o que cada letra representa na prática. O coeficiente b te diz onde a reta nasce no eixo y. O a te diz o quanto a reta sobe ou desce a cada unidade que você avança para a direita. Se a for positivo, a função é crescente. Se a for negativo, é decrescente. Se a for zero, a função vira constante e o gráfico é uma linha horizontal. Simples assim.
gráfico função 1 grau: exercícios resolvidos
Vou mostrar alguns exercícios típicos com a resolução completa. O primeiro é o mais básico que você encontra em qualquer material. Exercício 1 – Construa o gráfico da função f(x) = 2x – 3.
Começo encontrando o ponto onde x = 0. Substituo na equação: f(0) = 2(0) – 3 = –3. Esse é o ponto (0, –3). Agora escolho um segundo valor para x. Vou usar x = 2 porque dá conta fácil: f(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1. O segundo ponto é (2, 1). Desenho a reta passando por (0, –3) e (2, 1). O gráfico cruza o eixo x quando f(x) = 0, então resolvo 2x – 3 = 0 e chego em x = 3/2. O ponto de interseção com o eixo horizontal é (1,5; 0). Pronto, tenho todos os pontos necessários para esboçar a reta. Exercício 2 – Dada a função g(x) = –x + 4, determine se ela é crescente ou decrescente e construa seu gráfico.
O coeficiente angular aqui é –1, que é negativo. Função decrescente. Para o gráfico, encontro o ponto com o eixo y: g(0) = –0 + 4 = 4. Ponto (0, 4). Agora um segundo ponto qualquer, vou de x = 4: g(4) = –4 + 4 = 0. Ponto (4, 0). Reta ligando (0, 4) e (4, 0). A inclinação é –1, então a reta desce um passo vertical a cada passo horizontal para a direita. Simples. Exercício 3 – Determine a lei da função affine sabendo que f(1) = 5 e f(3) = 11.
Aqui o caminho é montar um sistema. Como f(x) = ax + b, tenho duas condições: a(1) + b = 5 e a(3) + b = 11. Subtraio a primeira equação da segunda: 3a + b – a – b = 11 – 5, o que resulta em 2a = 6, logo a = 3. Volto à primeira equação: 3(1) + b = 5, então b = 2. A função é f(x) = 3x + 2. Para o gráfico, f(0) = 2, ponto (0, 2), e f(1) = 5, ponto (1, 5). Reta ligando esses dois pontos. Exercício 4 – O preço de um produto é dado por p(x) = 5x + 20, onde x é a quantidade em dezenas. Qual o custo para 6 dezenas? Qual a quantidade necessária para o preço chegar a R$ 65?
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Para x = 6: p(6) = 5(6) + 20 = 30 + 20 = 50. O preço é R$ 50. Para saber a quantidade que gera preço igual a 65, resolvo 5x + 20 = 65. Subtraio 20 dos dois lados: 5x = 45. Divido por 5: x = 9. São 9 dezenas, ou 90 unidades. O gráfico dessa função mostra uma reta crescente partindo de (0, 20) no eixo y. Exercício 5 – Duas funções f(x) = 3x – 1 e g(x) = –2x + 9. Determine o ponto onde seus gráficos se cruzam.
Para encontrar o ponto de interseção, igualo as duas funções: 3x – 1 = –2x + 9. Somei 2x dos dois lados e somei 1: 5x = 10, então x = 2. Substituo em qualquer uma das funções para achar y: f(2) = 3(2) – 1 = 5. O ponto de encontro é (2, 5). Verifiquei com a outra função também: g(2) = –2(2) + 9 = 5. Confere. Uma coisa que pouca gente leva a sério na hora de resolver esses exercícios é a escala do plano cartesiano. Quando os números são grandes ou fracionários, o gráfico fica distorcido se você não ajustar a escala de cada eixo separately. Um erro comum é tentar forçar a mesma unidade de medida nos dois eixos, o que deixa o desenho ilegível ou fora da folha. Use escalas diferentes quando necessário, mas anote claramente no gráfico quais são as unidades de cada eixo. Senão, quem ler vai entender errado.
Outro ponto que causa confusão constante é a interpretação do coeficiente linear. Muita gente acha que b é sempre o ponto onde a reta corta o eixo x. Não é. B é o valor de y quando x é zero, ou seja, a interseção com o eixo y. A interseção com o eixo x é chamada de raiz da função, e ela se encontra fazendo f(x) = 0. São coisas diferentes que às vezes coincidem apenas no caso particular em que b também é zero. Também vale lembrar que funções do 1º grau não têm máximo nem mínimo global. Elas vão de menos infinito a mais infinito. O que existe são conceitos de crescimento e decrescimento, e isso depende exclusivamente do sinal de a. Não tente encontrar vértices ou pontos de inflexão nessa função, eles não existem. Quando o exercício pede valores máximos ou mínimos em um intervalo fechado, aí sim você avalia nos pontos de fronteira do domínio. Fora disso, a função não para de crescer ou de decrescer.
No exercício 3, onde precisei encontrar a lei da função a partir de dois pontos, muita gente tenta adivinhar os valores de a e b. Existe um método mais direto e menos suscetível a erro. Você pode calcular a diretamente pela fórmula da inclinação: a = (y2 – y1) / (x2 – x1). No exemplo, a = (11 – 5) / (3 – 1) = 6 / 2 = 3. Depois basta substituir um dos pontos para achar b. Chega no mesmo resultado do sistema, mas é mais rápido e consome menos tempo na hora da prova. Quando se trata de gráficos com coeficientes fracionários, como f(x) = (1/3)x – 2, o maior problema é encontrar pontos com coordenadas inteiras para facilitar o desenho. Se você usar x = 1, 2 ou 3, vai obter valores fracionários de y que são chatos de marcar com precisão no papel milimetrado. A solução prática é escolher valores de x que sejam múltiplos do denominador. No caso, múltiplos de 3: x = 3 dá y = –1, x = 6 dá y = 0, x = –3 dá y = –3. Assim os pontos ficam todos em inteiros e o gráfico fica limpo.
Um caso específico que me atrapalhou bastante no início, e que vejo alunos cometendo com frequência, é confundir a representação gráfica de uma função constante com um ponto. Se a = 0, a função vira f(x) = b, e o gráfico é uma linha horizontal que corta o eixo y no valor b. Às vezes o aluno desenha só um pontozinho naquela altura e acha que já resolveu. Não resolve. É uma reta inteira, infinita nos dois sentidos, com inclinação zero. Marque pelo menos três pontos para deixar claro que se trata de uma linha horizontal, não de um ponto isolado. Há também a situação em que o gráfico não intersecta nenhum dos eixos dentro da escala visível. Isso acontece quando a e b são muito pequenos e a raiz da função cai fora da janela de visualização. Nesse caso, o gráfico parece ser uma linha que nunca toca nenhum eixo no desenho, mas matematicamente ela sempre intersecta o eixo y em b, e o eixo x em x = –b/a, desde que a seja diferente de zero. Se a interceptação estiver muito longe, indique isso claramente no esboço e comente no desenho onde a interseção ocorreria.
A principal limitação desse modelo é que ele só descreve relações lineares. Se os dados reais tiverem curvatura, tendencia exponencial, ou comportamento com saturação, ajustar uma reta vai distorcer a interpretação. Funções do 1º grau são boas para aproximacoes em intervalos pequenos ou para modelar situações onde a taxa de variacao e constante. Quando voce nota que os pontos no grafico se afastam sistematicamente da reta ajustada, o modelo linear nao é adequado e voce deve considerar outras formas funcionais. Para praticar mais, recomendo pegar exercicios de livros didaticos como o Iezzi ou o Dante, que têm secoes inteiras dedicadas a funcao affine. Also available online sao bancos de questoes com gabarito do INEP e do ENEM. O importante e resolver varios ejercicios contextos: algumas com dados numéricos simples, outras com problemas de interpretação, e algumas com gráficos dados e pedidos de leis funcionais. A variação de fortalece a compreensão de forma muito mais eficaz do que repetir o mesmo tipo de exercício dez vezes.
